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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3a

1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   2 x + 2 y - 1 = 0                                         ∂ f ∂ y = 2 x + 4 y + 2 = 0  

∂ f ∂ x = y = - x + 1 2                                     ∂ f ∂ y = y = - x 2 - 1 2  

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- x + 1 2 = - x 2 - 1 2  

- x + x 2 = - 1 2 - 1 2

- x 2 = - 1

x = 2

Agora, substituindo o x para descobrir o y,

y = - x 2 - 1 2  

y = - 2 2 - 1 2  

y = - 3 2

2 , - 3 2 é   o   n o s s o   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y

∂ f ∂ x =   2 x + 2 y - 1                                         ∂ f ∂ y = 2 x + 4 y + 2                                           ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 2        

∂ 2 f ∂ x 2 = 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 4

H x , y = 2 2 2 4 = 8 - 4 = 4 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   m í n i m o

Resposta

2 , - 3 2   é     mínimo global, porque só tem esse ponto.

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