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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3d

1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = 3 x 2 + y 2 + x y - 2 x - 2 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   6 x + y - 2 = 0                                       ∂ f ∂ y = 2 y + x - 2 = 0

∂ f ∂ x =   y = - 6 x + 2                                         ∂ f ∂ y = y = - x 2 + 1

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- 6 x + 2 = - x 2 + 1

- 6 x + x 2 = - 2 + 1

- 11 2 x = - 1

x = 2 11

Agora, substituindo o x para descobrir o y,

  y = - 6 x + 2  

  y = - 6 ⋅ 2 11 + 2  

  y = 10 11

2 11 , 10 11 é   o   n o s s o   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = 3 x 2 + y 2 + x y - 2 x - 2 y

∂ f ∂ x =   6 x + y - 2                                         ∂ f ∂ y = 2 y + x - 2                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 1        

∂ 2 f ∂ x 2 = 6                                                 ∂ 2 f ∂ y 2 = 2

H x , y = 6 1 1 2 = 12 - 1 = 11 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   d e   m í n i m o

Resposta

2 11 , 10 11 mínimo global, pois é o único ponto crítico.

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