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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3f

1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   2 x - 2 = 0                                       ∂ f ∂ y = 2 y - 4 = 0  

∂ f ∂ x =   x = 1                                         ∂ f ∂ y = y = 2

Como as funções são independentes, não precisamos igualar nada, já temos o ponto,

1 , 2 é   o   n o s s o   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y

∂ f ∂ x =   2 x - 2                                         ∂ f ∂ y = 2 y - 4                                       ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 0        

∂ 2 f ∂ x 2 = 2                                                 ∂ 2 f ∂ y 2 = 2

H x , y = 2 0 0 2 = 4 - 0 = 4 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   d e   m í n i m o

Resposta

1 , 2 é ponto de mínimo global, pois só temos esse ponto.

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