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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3c

1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x + 2 y - 2 x y - x 2 - 3 y 2

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   1 - 2 y - 2 x = 0                                         ∂ f ∂ y = 2 - 2 x - 6 y = 0

∂ f ∂ x =   y = - x + 1 2                                         ∂ f ∂ y = y = - x 3 + 1 3

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- x + 1 2 = - x 3 + 1 3

- x + x 3 = - 1 2 + 1 3

- 2 x 3 = - 1 6

x = 1 4

Agora, substituindo o x para descobrir o y,

  y = - x + 1 2

  y = - 1 4 + 1 2

  y = 1 4

1 4 , 1 4 é   o   n o s s o   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x + 2 y - 2 x y - x 2 - 3 y 2

∂ f ∂ x =   1 - 2 y - 2 x                                         ∂ f ∂ y = 2 - 2 x - 6 y                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = - 2        

∂ 2 f ∂ x 2 = - 2                                                 ∂ 2 f ∂ y 2 = - 6

H x , y = - 2 - 2 - 2 - 6 = 12 - 4 = 8 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ∴ p o n t o   d e   m á x i m o

Resposta

1 4 , 1 4   máximo global, pois é o único ponto crítico.

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