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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 1 e

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

c) f x , y = x y e x 2 + 4 y 2 = 8

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição,   x 2 + 4 y 2 = 8 vamos chama-la de g x , y = x 2 + 4 y 2 - 8  

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = y   ∂ f ∂ y x , y = x  

Logo,

∇ f x , y = y , x

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 2 x   ∂ f ∂ y x , y = 8 y  

Logo,

∇ g x , y = 2 x , 8 y

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

y , x = λ 2 x , 4 y x 2 + 4 y 2 = 8

Podemos reescrever o sistema,

y = 2 λ x   x = 8 λ y   x 2 + 4 y 2 = 8

Multiplicando as duas primeiras equações

x y = 16 λ ² x y   ⟹ λ 2 = 1 16 → λ = ± 1 4

Substituindo na segunda equação

x = 8 λ y = 8 ± 1 4 y = ± 2 y   ⟹

x = ± 2 y

Passo 4

Substituindo na ultima equção

x 2 + 4 y 2 = 8

± 2 y 2 + 4 y 2 = 8

4 y 2 + 4 y 2 = 8 → 8 y 2 = 8 → y = ± 1

Assim, os pontos serão

- 2 , - 1 ,   - 2,1 ,   2 ,   - 1   e     2,1

A nossa função é um parabolóide com concavidade voltada para cima, então todos os pontos acima serão pontos de máximo, já que o mínimo desse parabolóide está na origem.

Resposta

- 2 , - 1 ,   - 2,1 ,   2 ,   - 1   e     2,1

A nossa função é um parabolóide com concavidade voltada para cima, então todos os pontos acima serão pontos de máximo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja R 1 ,R 2 , ⋯ ,R n ,⋯ uma sequência de retângulos em R 2 ,onde R n = x , y ∈ R 2a n ≤ x ≤ c n ,a n - ≤ y ≤ b n } , tais que R 1 ⊃ R 2 ⊃ ⋯ ⊃R n ⊃ ⋯ . Suponha que d n = | a n ,a n - - c n ,b n | ten
Prove que se f ( x , y ) for contínua em x 0 , y 0 ∈ D f então f deve ser localmente limitada em x 0 , y 0 . (f é localmente limitada em x 0 , y 0 significa que existem α e β e um bola aberta B de cen
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. f) f x ,y = x 2 - 2 x y + 2 y 2 em A = { x ,y∈R 2 ; x + y ≤ 1 } .
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. b )   f x ,   y = 3 x - y no conjunto A   de todos x ,   y tais que x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   x 2 + y 1 ≤ 3 ,   x + y ≤ 1
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. f x ,y = 3 x - y no conjunto A de todos x ,y tais que x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,y - x ≤ 3 ,x + y ≤ 4 e 3 x + y ≤ 6 .