Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

c) f(x, y) = x * y e x^2 + 4y^2 = 8

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição,   x 2 + 4 y 2 = 8 vamos chama-la de g x , y = x 2 + 4 y 2 - 8  

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = y   ∂ f ∂ y x , y = x  

Logo,

∇ f x , y = y , x

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 2 x   ∂ f ∂ y x , y = 8 y  

Logo,

∇ g x , y = 2 x , 8 y

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

y , x = λ 2 x , 4 y x 2 + 4 y 2 = 8

Podemos reescrever o sistema,

y = 2 λ x   x = 8 λ y   x 2 + 4 y 2 = 8

Multiplicando as duas primeiras equações

x y = 16 λ ² x y   ⟹ λ 2 = 1 16 → λ = ± 1 4

Substituindo na segunda equação

x = 8 λ y = 8 ± 1 4 y = ± 2 y   ⟹

x = ± 2 y

Passo 4

Substituindo na ultima equção

x 2 + 4 y 2 = 8

± 2 y 2 + 4 y 2 = 8

4 y 2 + 4 y 2 = 8 → 8 y 2 = 8 → y = ± 1

Assim, os pontos serão

- 2 , - 1 ,   - 2,1 ,   2 ,   - 1   e     2,1

A nossa função é um parabolóide com concavidade voltada para cima, então todos os pontos acima serão pontos de máximo, já que o mínimo desse parabolóide está na origem.

Resposta

- 2 , - 1 ,   - 2,1 ,   2 ,   - 1   e     2,1

A nossa função é um parabolóide com concavidade voltada para cima, então todos os pontos acima serão pontos de máximo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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