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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 24

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico z = 4 + x 2 - y 2 e acima do quadrado R = - 1 ,   1 × 0 ,   2 .

Passo 1

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Olhando para o quadrado, já obtemos nossos limites de integração:

V = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 z x ,   y d x   d y

Obtemos z a partir da equação do paraboloide:

V = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 ( 4 + x 2 - y 2 ) d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 2 ∫ - 1 1 ( 4 + x 2 - y 2 ) d x   d y = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 ( 4 + x 2 - y 2 )   d x d y = ∫ 0 2 4 x + x 3 3 - y 2 x - 1 1 d y = ∫ 0 2 2 4 + 1 3 - y 2 d y = ∫ 0 2 26 3 - 2 y 2   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 2 26 3 - 2 y 2   d y = 26 y 3 - 2 y 3 3 0 2 = 26   .   2 3 - 2   .   2 3 3 = 4 13 - 4 3 = 12

Beleza?

Resposta

12

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2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:n) ∫ - 1 2 ∫ 0 x + 1 x 2 d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:e) ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ x y d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:m) ∫ - 1 1 ∫ - 1 | x | ( x 2 - 2 y 2 ) d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:d) ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:i) ∫ 1 2 ∫ 0 x y l nx d yd x