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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 2m

2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

m) ∫ - 1 1 ∫ - 1 | x | ( x 2 - 2 y 2 ) d y   d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ y ≤ | x |

Logo o gráfico é o seguinte:

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a y . Trate x como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a y .

∫ - 1 | x | ( x 2 - 2 y 2 ) d y =

( x 2 y - 2 ⋅ y 3 3 - 1 x = x 2 x + 1 - 2 3 x 3 + 1

= x 2 x + x 2 - 2 3 x 3 - 2 3

Passo 3

Agora vamos integrar em função de x , levando em conta o valor obtido na integral de y . Assim temos:

∫ - 1 1 x 2 x + x 2 - 2 3 x 3 - 2 3 d x =

Como nosso intervalo de integração é - 1 < x + 1 , precisamos dividir a integral em duas, uma para o lado positivo de x e outra para o lado negativo. Dessa forma o modulo obedecera ao eixo que estivermos integrando, ou seja, ele será positivo no eixo positivo e negativo no eixo negativo.

∫ - 1 1 x 2 x + x 2 - 2 3 x 3 - 2 3 d x =

∫ - 1 0 x 2 ( - x ) + x 2 - 2 3 ( - x ) 3 - 2 3 d x + ∫ 0 1 x 2 x + x 2 - 2 3 x 3 - 2 3 d x =

∫ - 1 0 x 2 - x + x 2 - 2 3 - x 3 - 2 3 d x = ∫ - 1 0 - x 3 + x 2 + 2 3 x 3 - 2 3 d x =

- x 4 4 + x 3 3 + 2 3 ⋅ x 4 4 - 2 3 x - 1 0 = 1 4 + 1 3 - 1 6 - 2 3 =

= - 3 12 = - 1 4

Passo 4

∫ 0 1 x 2 x + x 2 - 2 3 x 3 - 2 3 d x = ∫ 0 1 x 3 + x 2 - 2 3 x 3 - 2 3 d x =

x 4 4 + x 3 3 - 2 3 ⋅ x 4 4 - 2 3 x 0 1 = 1 4 + 1 3 - 1 6 - 2 3

= 3 + 4 - 2 - 8 12 =   - 3 12 = - 1 4

Juntando as duas integrais, temos:

R = - 1 4 - 1 4 = - 2 4 = - 1 2

Resposta

- 1 2

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Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :f) x cos ⁡ x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :g) y cos ⁡ x y
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Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a : ye x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :h) 1 x + y 2