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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 2i

2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

i) ∫ 1 2 ∫ 0 x y l n   x d y   d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ x

Logo o gráfico é o seguinte:

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a y . Trate x como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a y .

∫ 0 x y l n   x d y =

ln ⁡ x ⋅ y 2 2 0 x = x 2 2 ln ⁡ x

Passo 3

Agora vamos integrar em função de x , levando em conta o valor obtido na integral de y . Assim temos:

∫ 1 2 x 2 2 ln ⁡ x   d x =

1 2 ∫ 1 2 x 2 ln ⁡ x   d x

Nesse caro iremos utilizar integral por partes:

u = ln ⁡ x ⟹ d u = 1 x d x

d v = x 2   d x ⇒ v = x 3 3

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= x 3 3 ln ⁡ x - ∫ x 3 3 ⋅ 1 x d x

= x 3 3 l n   x - x 3 9

Dessa forma,

1 2 ∫ 1 2 x 2 ln ⁡ x d x = 1 2 x 3 3 l n   x - x 3 9 1 2 =

= 4 3 ln ⁡ 2 - 4 9 + 1 18 =

4 3 ln ⁡ 2 - 7 18

Resposta

4 3 ln ⁡ 2 - 7 18

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Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y
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