Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 20
Existe um campo vetorial em tal que ? Explique.
Passo 1
O que queremos checar nessa questão é se existe alguma função cujo rotacional é o campo vetorial dado.
Isto é, queremos descobrir se existe alguma função (que seria a própria ) tal que . Para descobrirmos se isto é possível, precisamos utilizar um teorema que nos afirma que, se
Então existe essa função . Portanto, precisamos obter somente o divergente da nossa função rotacional. Se for nulo, então existe . Caso seja diferente de 0, não existe.
Vamos então as contas!
Passo 2
Precisamos calcular o divergente da nossa função. Para isto, lembramos que, se , então,
Portanto, vamos calcular as derivadas parciais do nosso rotacional. Temos então:
Portanto,
E como , não existe nenhum campo vetorial tal que o seu rotacional é dado pela equação da questão!
Resposta
Não existe função .