Existe um campo vetorial G em R^3 tal que rot G = yz i + xyz j + xy k ? Explique.

Passo 1

O que queremos checar nessa questão é se existe alguma função cujo rotacional é o campo vetorial dado.

Isto é, queremos descobrir se existe alguma função F (que seria a própria G ) tal que F = r o t   G . Para descobrirmos se isto é possível, precisamos utilizar um teorema que nos afirma que, se

d i v   r o t   G = 0

Então existe essa função F = G . Portanto, precisamos obter somente o divergente da nossa função rotacional. Se for nulo, então existe G . Caso seja diferente de 0, não existe.

Vamos então as contas!

Passo 2

Precisamos calcular o divergente da nossa função. Para isto, lembramos que, se F = P i + Q j + R k , então,

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Portanto, vamos calcular as derivadas parciais do nosso rotacional. Temos então:

∂ P ∂ x = 0

∂ Q ∂ y = x z

∂ R ∂ z = 0

Portanto,

d i v   F = d i v   r o t   G = x z

E como d i v   F ≠ 0 , não existe nenhum campo vetorial G tal que o seu rotacional é dado pela equação da questão!

Resposta

Não existe função G .

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