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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 2e

2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

e) ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ x y d y   d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0 ≤ y ≤ sen ⁡ x 0 ≤ x ≤ π

Logo o gráfico é o seguinte:

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a y . Trate x como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a y .

∫ 0 sen ⁡ x y d y =

y 2 2 0 sen ⁡ x = 1 2 sen 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos integrar em função de x , levando em conta o valor obtido na integral de y . Assim temos:

∫ 0 π 1 2 sen 2 ⁡ x   d x =

1 2 - 1 2 sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 2 x 0 π =

= 1 2 - 1 2 sen ⁡ π cos ⁡ π + 1 2 π + 1 2 sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 - 0 =

1 4 π

Resposta

1 4 π

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Calcular ∬ r f x , yd x d y , onde:d) f x , y = y ln ⁡ x ; R é retângulo: 2 ≤ x ≤ 3 ; 1 ≤ y ≤ 2 .
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:c) ∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 1 x d yd x
4. Calcular ∬ R ( x + 4 ) d x d y , onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6 . Interpretar geometricamente.
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :e) 1
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :d) 1 x + y