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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 21

Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = a

∂ z ∂ y = b

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + a 2 + b 2 d A = ∬ D a 2 + b 2 + 1 d A

Passo 3

Vamos começar a trabalhar com a nossa integral. O termo dentro da integral encontrada no Passo 2 é uma constante, portanto, podemos colocar para fora da nossa integral. Desta forma, temos:

A S = a 2 + b 2 + 1 ∬ D d A

A integral dupla da unidade é exatamente o valor da área da região D. Portanto, a área da superfície é dada por:

A S = a 2 + b 2 + 1 A ( D )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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