Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 8

Determine a área da superfície.

A superfície z = 2 3 ( x 3 / 2 + y 3 / 2 ) , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

E aiii galera, tudo bem?!

Nosso objetivo é determinar a área da superfície a seguir:

z = 2 3 ( x 3 / 2 + y 3 / 2 )

Nos intervalos:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Vamos montar uma estratégia juntos!

A área de uma superfície pode ser obtida pela seguinte integral:

A s u p   = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Onde, d A = d x d y .

Repare que ele já nos forneceu os intervalos de integração em x e y .

Perceba que já temos também uma função z ( x , y ) para fazer as derivadas parciais. Agora é só derivar a expressão em relação a x e depois em relação a y.

Ai montamos nossa integral e partimos para a resolução dela.

Showww ein pessoal!! Vamos lá!!

Passo 2

Temos a seguinte expressão z ( x , y ) :

z = 2 3 ( x 3 / 2 + y 3 / 2 )

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z ( x , y ) . Lembre-se tudo que não dependa da variável que estamos derivando se torna uma constante.

Sendo assim, vamos ter que:

∂ z ∂ x = x

∂ z ∂ y = y

Agora vamos substituir na integral.

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A s u p = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d A

Simplificando, temos:

A s u p = ∬ D 1 + x + y d A

Passo 3

Agora, precisamos integrar na região D .

A região D, ele forneceu no enunciado. É a seguinte região retangular:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Portanto, vamos ter que resolver a seguinte integral:

A s u p = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + x + y   d x d y

Lembre-se, começamos integrando de dentro para fora. E nessa situação tanto faz se começar por x ou y . Quem nos garante isso é o teorema de Fubini:

Nós vamos começar integrando em d x , ok?

Passo 4

Integrando a seguinte expressão em d x :

A s u p = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + x + y   d x d y

Um pouco de calma aqui, porque você vai ter que aplicar uma substituição do tipo:

u = 1 + x + y

d u = d x

Substituindo, vamos ter:

A s u p = ∫ 0 1 ∫ 0 1 u   d x d y

Integrando e voltando para a variável x , temos:

A s u p = ∫ 0 1 2 3 1 + x + y 3 2 0 1 d y

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

A s u p = ∫ 0 1 2 3 2 + y 3 / 2 - 1 + y 3 / 2 d y

Agora ficamos com uma integral em d y .

Passo 5

Vamos aplicar a seguinte regra de integrais. A integral de uma soma de termos, é igual a soma das integrais dos termos.

A s u p = ∫ 0 1 2 3 2 + y 3 / 2 - 1 + y 3 / 2 d y

Logo temos que:

A s u p = 2 3 ∫ 0 1 2 + y 3 2 d y     - 2 3 ∫ 0 1 1 + y 3 2 d y

Novamente vamos precisar aplicar uma substituição em ambas as integrais, do tipo:

Primeira integral:

u = 2 + y

d u = d y

Segunda integral:

v = 1 + y

d v = d y

Agora vamos substituir. Vamos ficar com:

A s u p = 2 3 ∫ 0 1 u 3 2 d u     - 2 3 ∫ 0 1 v 3 2 d v

Vamos integrar ambas as integrais, e voltar para a variável y . Fazendo isso, temos:

A s u p = 2 3 2 5 2 + y 5 2 - 2 5 1 + y 5 2 0 1  

Aplicando os limites de integração e simplificando e somando os termos possíveis, vamos ter como resposta:

A s u p = 4 15 9 3 - 8 2 + 1

Resposta

A s u p = 4 15 9 3 - 8 2 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitada pelos paraboloides z = 3 x 2 + 3 y 2 e z = 4 - x 2 - y 2
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Uma esfera de raio a
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1
Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelocilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y = 2 – x2 e pela reta y = x no plano xy.