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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 33

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza?

A questão quer que a gente calcule a integral

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x

transformando as coordenadas retangulares dadas em coordenadas cilíndricas.

Vamos lá! Se queremos mudar para um sistema de coordenadas cilíndricas, precisamos transformar as nossas variáveis x , y , z em r , θ , z . Esta mudança será feita através da seguinte mudança:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

E:

d z   d y   d z = r   d z   d r   d θ

Também usamos a equação:

x 2 + y 2 = r 2

Então o que vamos precisar fazer aqui é: reescrever nossa função no integrando e nossos limites de integração em coordenadas retangulares e aí a gente vai poder calcular normalmente nossa integra tripla, começando “de dentro para fora”.

Vem ver!

Passo 2

Começando pela nossa função, vamos transformar em coordenadas cilíndricas:

f x , y , z = x 2 + y 2 3 / 2

Usando a equação:

x 2 + y 2 = r 2

Substituímos e ficamos com:

f x , y , z = r 2 3 / 2 = r 3

Como aqui nas coordenadas cilíndricas temos o mesmo z das coordenadas retangulares, vamos só transformar os limites de integração de z :

2 - x 2 - y 2 = 2 - x 2 + y 2

E:

x 2 + y 2

Substituindo teremos:

2 - r 2

E:

r 2

Se nós fizermos essa mudança, vamos obter uma integral da seguinte forma:

∬ E ∫ r 2 2 - r 2 r 3 d z d A

A grande questão é: quem é essa região E ? Ela é a projeção do nosso sólido no plano x y . Além disto, ela está relacionada aos limites das duas últimas integrais que precisamos transformar.

Olhando o limite de integração de y :

y = 1 - x 2

Elevando a equação ao quadrado, temos:

y 2 = 1 - x 2

Rearranjando, temos:

x 2 + y 2 = 1

Esta é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem. Em coordenadas polares ela consiste em:

0 ≤ r ≤ 1  

Onde r é a variação do raio da circunferência. E:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Onde θ é a variação angular para uma circunferência inteira. Sendo assim, teremos a seguinte integral em coordenadas cilíndricas:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r 3 ⋅ r ⋅ d z d r d θ

Perceba que apareceu mais um r no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!

d z   d y   d z = r   d z   d r   d θ

Passo 3

Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r 4 d z d r d θ

Começando pela integral de dentro em relação a z . Trataremos r   como constante:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 ⋅ z r 2 2 - r 2 d r d θ

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 4 - 2 r 6 d r d θ

Integrando agora em relação a r :

= ∫ 0 2 π 2 r 5 5 - 2 r 7 7 0 1 d θ

Aplicando os limites:

= ∫ 0 2 π 2 5 - 2 7 d θ

Agora finalizamos integrando em θ :

∫ 0 2 π 4 35 d θ = 4 35 ⋅ θ 0 2 π

= 8 π 35

E este é o nosso valor!

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2 d z d y d x = 8 π 35

Resposta

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2 d z d y d x = 8 π 35

Ver Outros Exercícios desse livro

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Esboce o sólido descrito pelas inequações. r 2 ≤ z ≤ 8 - r 2
Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Mude o sistema de coordenadas de retangulares para cilíndricas.
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x y z d z d x d y
Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.