Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas

Começando pela nossa função, vamos transformar em coordenadas cilíndricas:

Usando a equação:

Substituímos e ficamos com:

Como aqui nas coordenadas cilíndricas temos o mesmo das coordenadas retangulares, vamos só transformar os limites de integração de :

E:

Substituindo teremos:

E:

Se nós fizermos essa mudança, vamos obter uma integral da seguinte forma:

A grande questão é: quem é essa região ? Ela é a projeção do nosso sólido no plano . Além disto, ela está relacionada aos limites das duas últimas integrais que precisamos transformar.

Olhando o limite de integração de :

Elevando a equação ao quadrado, temos:

Rearranjando, temos:

Esta é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem. Em coordenadas polares ela consiste em:

Onde é a variação do raio da circunferência. E:

Onde é a variação angular para uma circunferência inteira. Sendo assim, teremos a seguinte integral em coordenadas cilíndricas:

Perceba que apareceu mais um no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!

Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!

Começando pela integral de dentro em relação a . Trataremos como constante:

Aplicando os limites de integração:

Integrando agora em relação a :

Aplicando os limites:

Agora finalizamos integrando em :

E este é o nosso valor!