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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 23

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo do plano 3 x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão, temos que encontrar um volume, o que já indica a possibilidade de integral dupla, temos a equação de um plano que teremos que transforma em nossa função f ( x , y ) , temos também os limites de integração dado em função de x e y , então nosso procedimento envolve relacionar as funções das parábolas para encontrar os valores em que essas parábolas estão de fato limitada.

Vamos começar?

Passo 2

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por um plano e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Podemos reescrever a equação do plano da seguinte maneira:

z = 3 x + 2 y

Esta equação será o nosso f ( x , y ) .

Para encontrar os limites de integração vamos relacionar as parábolas dadas:

Ora, se:

y = x 2 e x = y 2 Então:

x = x 2 2

x = x 4

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

x = 0

x 3 - 1 = 0

x 3 = 1

x = 1

Encontramos os limites em   x . De modo que é 0 ≤ x ≤ 1

E qual os limites para y ?

y = x 2

Veja a imagem:

A função inferior em azul é a função y = x 2 . A função superior em verde é a função x = y 2 que é o mesmo que x = y . Ou seja, os limites em y são:

  x 2 ≤ y ≤ x

Passo 3

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 3 x + 2 y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x 2 x 3 x + 2 y d y = 3 x y + 2 y 2 2 x 2 x

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ x 2 x 3 x + 2 y d y = 3 x x + x 2 - 3 x x 2 + x 2 2

∫ x 2 x 3 x + 2 y d y = 3 x x + x - 3 x 3 + x 4

∫ x 2 x 3 x + 2 y d y = 3 x 3 / 2 + x - 3 x 3 - x 4  

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 1 3 x 3 / 2 + x - 3 x 3 - x 4   d x

Passo 4

Agora é só resolver:

V = ∫ 0 1 3 x 3 / 2 + x - 3 x 3 - x 4   d x = 3 x 5 2 5 / 2 + x 2 2 - 3 x 4 4 - x 5 5 0 1

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 1 3 x 3 / 2 + x - 3 x 3 - x 4   d x = 3 1 5 / 2 5 / 2 + 1 2 2 - 3 1 4 4 - 1 5 5

∫ 0 1 3 x 3 / 2 + x - 3 x 3 - x 4   d x = 6 5 + 1 2 - 3 4 - 1 5

Resolvendo, temos:

∫ 0 1 3 x 3 / 2 + x - 3 x 3 - x 4   d x = 3 4

Portanto, o volume será:

V = 3 4

Resposta

V = 3 4

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