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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 2

Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , de modo que a densidade de carga em x , y é σ x , y = x 2 + y 2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.

Passo 1

E aiiiiiii galerinha fera no cálculo, tudo bem?! Partiu gabaritar essa!!!

Vamos entender o enunciado primeiro. Temos a distribuição de densidade σ x , y de carga sobre um disco x 2 + y 2 ≤ 1 . Precisamos determinar a carga total sobre esse disco.

Para podermos calcular a carga total, vamos pensar um pouquinho juntos. Ele nos forneceu uma densidade de carga na região de um disco, logo temos que a densidade por unidade de área:

σ x , y = Q A

Se isolarmos Q , que é nossa carga e integrarmos a densidade na área, vamos ter a carga total:

Q = ∬ D σ x , y d A

Onde,

σ x , y = x 2 + y 2

E a região D é um disco:

x 2 + y 2 ≤ 1

Um detalhe importante, como é uma região circular fica mais fácil integrarmos em coordenadas polares.

Logo temos que:

x 2 + y 2 = r 2

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ

Já nossa região é um disco, sabemos que um disco completo o ângulo varia entre 0 a 2 π . Para o raio, ele nos forneceu a expressão x 2 + y 2 ≤ 1 , compare com a expressão do círculo. Aí concluímos que o raio vai de 0 até 1 . Logo, temos:

D = r , θ 0 ≤ x ≤ 5 ,   2 ≤ y ≤ 5 }

Agora é só montar a integral e começar as operações de integração.

Ficou fácil de resolver ein! Bora lá!!!

Passo 2

Bom, para podermos calcular a carga total, precisamos resolver a seguinte integral:

Q = ∬ D σ x , y d A

Em que D é a região circular, e por causa do formato da região, é favorável utilizarmos coordenadas polares.

Por isto, a nossa região será dada com :

D = r , θ 0 ≤ x ≤ 5 ,   2 ≤ y ≤ 5 }

Já a função σ x , y , em coordenadas polares, é dada por:

σ x , y = x 2 + y 2

Substituindo x e y por:

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ

σ x , y = ( r c o s   θ ) 2 + ( r s e n   θ ) 2

Vamos usar a relação trigonométrica para simplificar: cos 2 ⁡ θ + s e n 2   θ = 1

Vamos ter:

σ r , θ = r 2 = r

Logo, nossa integral em coordenadas polares vai ficar:

Q = ∬ D σ x , y d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral.

Mas lembre-se começamos integrando de dentro para fora.

Vamos começar integrando em d r :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ

Integrando:

∫ 0 2 π r 3 3 0 1 d θ

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

∫ 0 2 π 1 3 d θ

Agora ficamos com uma integral simples em d θ .

Integrando,

= 1 3 ( θ ) 0 2 π

Aplicando os limites de integração, temos:

= 2 π 3

Logo a carga total no disco é:

Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = 2 π 3   C

Onde C (coulomb) é a unidade de carga.

Resposta

2 π 3 C  

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