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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 27

Determine o volume do sólido dado.

O tetraedro delimitado pelas coordenadas dos planos e pelo plano 2 x + y + z = 4

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Os planos de coordenadas serão x = 0 , y = 0 e z = 0 .

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Temos que a equação da superfície é dada por:

z = f x , y = 4 - 2 x - y

Uma análise rápida nos permite dizer os limites de integração. Temos que:

z = 0

Então:

2 x + y - 4 = 0

E:

y = 4 - 2 x

Se y = 0 , temos que:

4 - 2 x = 0

E:

x = 2

Como x = 0 , então x está no intervalo:

0 ≤ x ≤ 2

E y está no intervalo:

0 ≤ y ≤ 4 - 2 x

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 4 - 2 x

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 x f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y = 4 y - 2 x y - y 2 2 0 4 - 2 x

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y = 4 4 - 2 x - 2 x 4 - 2 x - 4 - 2 x 2 2

∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y = 4 - 2 x 2 - 4 - 2 x 2 2

∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y = 4 - 2 x 2 2

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y d x = ∫ 0 2 4 - 2 x 2 2 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ 0 2 4 - 2 x 2 2 d x = 1 2 4 - 2 x 3 3 ( - 2 ) 0 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 2 4 - 2 x 2 2 d x = 1 2 4 - 2 ( 2 ) 3 3 - 2

Resolvendo, temos:

∫ 0 2 4 - 2 x 2 2 d x = 1 2 64 6

∫ 0 2 4 - 2 x 2 2 d x = 16 3

Portanto, o volume será:

V = 16 3

Resposta

V = 1 6 3

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