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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 39

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1,1 × [ - 2,2 ] .

Passo 1

Vamos colocar o paraboloide como uma função, isolando o z :

z = 1 - x 2 4 - y 2 9

E aí pra achar o volume a gente pode fazer a integral dupla dessa função nos intervalos de R . Assim ó:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 1 - x 2 4 - y 2 9 d y d x

Passo 2

Beleza, vamos começar integrando em y :

∫ - 1 1 1 y - x 2 4 y - y 3 27 - 2 2 d x

∫ - 1 1 2 - x 2 2 - 8 27 - - 2 + x 2 2 + 8 27 d x

∫ - 1 1 - x 2 + 92 27 d x

Show! Agora é só integrar em x e pronto!

Passo 3

Em x ...

- x 3 3 + 92 27 x - 1 1

- 1 3 + 92 27 - 1 3 - 92 27

=   - 2 3 + 184 27

= 166 27

Esse é o volume procurado!!

Resposta

166 27

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros z = x 2 , y = x 2 e os planos z = 0 , y = 4 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelos cilindros parbólicos y = 1 - x 2 , y = x 2 - 1 e pelos planos x + y + z = 2 , 2 x + 2 y - z + 10 = 0 .
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 = y 2 e z = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .