Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 10
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está acima do plano .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo bem?
A questão pede pra gente achar a área da superfície da parte da esfera:
que cruza acima do plano
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Como o cruzamento da esfera e do plano será uma circunferência, vamos expressar em termos de coordenadas polares nossa integral.
Lembrando também que:
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Bora lá!
Passo 2
A equação da esfera pode ser reescrita como
Assim temos que derivando em relação a , tratamos o termo de como constante:
E Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.
Escrevendo o termo da nossa integral:
Temos:
Somando as 3 frações vamos chegar em:
Então nossa integral será:
Passo 3
O Domínio é definido acima do plano , ou seja, vamos fazer na equação da esfera, para ver o que obtemos da intersecção da esfera e do plano:
Isolando as variáveis:
Essa é a equação de um círculo com raio :
Então nossos limites de integração, serão:
E para a circunferência inteira temos os ângulos:
E fazemos:
Passo 4
Aplicando na nossa integral dupla, vamos resolve-la:
Tirando a raiz do numerador e de denominador:
Separando o produto dentro da integral como uma integral de produtos, cada qual com sua variável de integração:
Resolvendo a primeira integral:
Aplicando os limites de integração:
Substituindo de volta na nossa integral, vamos resolver a segunda:
Vamos usar a substituição. Fazendo:
Derivando :
Logo temos:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Então: