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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 20

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x y d A , D é d e l i m i t a d a p e l o q u a r t o d e c í r c u l o y = sqrt(1 - x^2) , x >= 0 e o s e i x o s .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro vamos encontrar a região de integração.

Quando y = 0 , temos que:

sqrt(1 - x^2) = 0

1 - x^2 = 0

x^2 = 1

x = +- 1

Como nos é dada a condição de que x >= 0 , então a única devemos considerar somente x = 1 .

A nossa região D será:

D = {(x , y) | 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= sqrt(1 - x^2)}

Passo 2

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬_D^() x y d A = int_0^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) x y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

int_0^(sqrt(1 - x^2)) x y d y = x [(y^2)/(2)]_0^(sqrt(1 - x^2))

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

int_0^(sqrt(1 - x^2)) x y d y = (x)/(2) [(sqrt(1 - x^2))^2 - (0)^2]

int_0^(sqrt(1 - x^2)) x y d y = (x)/(2) (1 - x^2)

int_0^(sqrt(1 - x^2)) x y d y = (x - x^3)/(2)

Logo, substituindo, temos:

int_0^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) x y d y d x = int_0^1 (x - x^3)/(2) d x

Passo 3

Agora é só resolver:

int_0^1 (x - x^3)/(2) d x = (1)/(2) [(x^2)/(2) - (x^4)/(4)]_0^1

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

int_0^1 (x - x^3)/(2) d x = (1)/(2) {[(1)/(2) - (0)/(2)] - [(1)/(4) - (0)/(4)]}

Resolvendo, temos:

int_0^1 (x - x^3)/(2) d x = (1)/(2) ((1)/(2) - (1)/(4))

int_0^1 (x - x^3)/(2) d x = (1)/(8)

Portanto, nossa integral dupla será:

∬_D^() x y d A = (1)/(8)

Resposta

∬_D^() x y d A = (1)/(8)

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