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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 12

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

12. z = tan ⁡ u v ,   u = 2 s + 3 t ,   v = 3 s - 2 t

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

A gente tem a função:

z = tan ⁡ u v

E temos suas parametrizações:

u = 2 s + 3 t

  v = 3 s - 2 t

Dito isso, queremos encontrar o diferencial:

∂ z ∂ s

∂ z ∂ t

Para encontrarmos ∂ z ∂ s e   ∂ z ∂ t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ s + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

Então veja que deveremos utilizar da derivada parcial.

Passo 2

As derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s serão feitas abaixo:

Considerando v como constante e derivando em relação a u :

z = tan ⁡ u v

veja que teremos que aplicar a regra da cadeia aqui, pois temos uma composição de funções:

∂ z ∂ u = s e c 2 u v ⋅ 1 v

Agora a gente precisa encontrar u s :

u = 2 s + 3 t

A gente aqui vai derivar em relação a s e considerar t constante:

∂ u ∂ s = 2

Agora a gente vai atras de z v :

Vamos derivar em relação a v e deixar u como constante, veja que teremos que aplicar a regra da cadeia aqui novamente, pois temos uma composição de funções:

z = tan ⁡ u v

∂ z ∂ v = s e c 2 u v ⋅ - u v 2

Temos então:

∂ v ∂ s = 3

Passo 3

E as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ t são:

Derivando em relação a u e aplicando a regra da cadeia:

z = tan ⁡ u v

∂ z ∂ u = s e c 2 u v ⋅ 1 v

Precisamos também de u t :

u = 2 s + 3 t

Derivando em relação a t :

∂ u ∂ t = 3

precisamos de z v :

z = tan ⁡ u v

Derivando em relação a v e aplicando a regra da cadeia:

∂ z ∂ v = s e c 2 u v ⋅ - u v 2

Por ultimo temos v t :

v = 3 s - 2 t

∂ v ∂ t = - 2

Passo 4

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1 , obteremos:

Para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ s + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s

Substituindo:

∂ z ∂ s = s e c 2 u v ⋅ 1 v ⋅ 2 - u v 2 ⋅ s e c 2 u v ⋅ 3

Simplificando a gente tem:

∂ z ∂ s = s e c 2 u v ⋅ 1 v 2 - 3 u v

Para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

∂ z ∂ t = s e c 2 u v ⋅ 1 v ⋅ 3 - u v 2 ⋅ s e c 2 u v ⋅ ( - 2 )

Simplificando:

∂ z ∂ t = s e c 2 u v ⋅ 1 v 3 + 2 u v

Então aqui a gente termina com o nosso problema!

Resposta

∂ z ∂ s = s e c 2 u v . 1 v 2 - 3 u v

∂ z ∂ t = s e c 2 u v . 1 v 3 + 2 u v

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