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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 1f

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

1 ≤ x ≤ 4   1 ≤ y ≤ x

Passo 1

Percebemos que o y não está delimitado pela função nula! Sempre que isso ocorrer, preste bastante atenção, pois teremos que fazer uma diferença de volumes para encontramos o volume que queremos!!!!

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

1 ≤ x ≤ 4

1 ≤ y ≤ x

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde:

Passo 2

Como dito lá no início, iremos fazer uma subtração de volumes, mas quais serão essas que devemos utilizar?

V 1 :

y = x

Os limites de integração são: x = 1   e   x = 4

V 2 :

y = 1

Os limites de integração são: x = 1   e   x = 4

E o volume que queremos será

V = V 1 - V 2

Nossa querida fórmula!

  V = 2 π ∫ x y d x

Passo 3

Calcularemos V 1 :

V 1   = 2   π ∫ 1 4 x x d x = 2 π ∫ 1 4 x 3 2 d x = 2 π 2 5 x 5 2 4 1 = 4 π 5 32 - 1 = 124 π 5

Calcularemos V 2 :

V 2 = 2 π ∫ 1 4 x d x = 2 π x 2 2 4 1 = 2 π 16 2 - 1 2 = 15 π

Agora para darmos um fim a essa questão, faremos a subtração dos dois volumes e acharemos o que queremos!!!

V = 124 π 5 - 15 π = 49 π 5

Resposta

V = 49 π 5

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