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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 59

Volume do hemisfério . Deduza a fórmula V = 2 3 π R 3 para o volume de um hemisfério de raio R comparando suas seções tranversáveis com as de um cilindro sólido circular reto de raio R e altura R , do qual foi removido um cone sólido circular reto, com circular reto base R e altura R , como sugere a figura

Passo 1

Perceba que a área da seção do hemisfério corresponde a:

A 1 = π R 2 - h 2 2 = π ( R 2 - h 2 )

Isso, porque o raio pela figura corresponde a R 2 - h 2

Já, a seção do cilindro sólido regular do qual foi removido um cone sólido circular reto, com circular reto com base R e altura R , temos que a área corresponde a :

A 2 = A c l - A c n = π R 2 - π h 2 = π R 2 - h 2

Onde,   A c l é a área da seção do cilindro e A c n é a área da seção do cone. Note que subtraímos um área pela outra, pois como o cilindro é oco, devido a parte retirada pelo cone. Com isso, temos que considerar a seção que está fora do cone e dentro do cilindro.

Sendo assim, encontramos que A 1 = A 2 .

Passo 2

Lembre-se que para calcular o volume de uma região

∫ A ( x ) d x  

Dessa maneira, temos que

∫ A 1 ( x ) d x = ∫ A 2 ( x ) d x = ∫ A c l - A c n d x = ∫ A c l d x - ∫ A c n d x

  Como ,   ∫ A c l d x   corresponde ao volume do cilindro e ∫ A c n d x ao volume do cone, então sabemos que

∫ A 1 ( x ) d x = ∫ A c l d x - ∫ A c n d x = π R 2 R - 1 3 π R 2 R = π R 3 - 1 3 π R 3 = 2 3 π R 3

Isso significa que a o volume do hemisfério corresponde a 2 3 π R 3

Resposta

O volume do hemisfério corresponde a 2 3 π R 3

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