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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 14

14. Determines os pontos da curva obtida pela interseção das superfícies de equações

x 2 - x y + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 = 1 mais próximos da origem.

Passo 1

A distância de um ponto a origem é dada por: D x . y . z = x 2 + y 2 + z 2

E minimizar essa distância é o mesmo que minimizar f x . y . z = x 2 + y 2 + z 2 com as restrições g x , y , z = x 2 - x y + y 2 - z 2 = 1 e h x , y , z = x 2 + y 2 = 1 .

Como essas funções satisfazem as condições do teorema de lagrange, devemos resolver a seguinte equação vetorial:

∇ f P + λ 1 ∇ g P + λ 2 ∇ h P = 0

Isto é:

2 x + λ 1 ( 2 x - y ) + λ 2 2 x = 0 2 y + λ 1 2 y - x + λ 2 2 y = 0 2 z - λ 2 2 z = 0 x - x y + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 1

Da terceira equação temos que λ 2 = 1 . Substituindo no nosso sistema temos agora:

2 x + λ 1 2 x - y + 2 x = 0 2 y + λ 1 2 y - x + 2 y = 0 2 z - 2 z = 0 x - x y + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 ↔ 4 x + λ 1 2 x - y = 0 4 y + λ 1 2 y - x = 0 0 = 0 x - x y + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 1

Somando as equações (1) e (2), temos que: 4 x + y + λ 1 2 x - y + 2 y - x = 0 ↔ λ 1 = - 1 4

Substituindo λ 1 , temos:

2 x + 1 4 ( 2 x - y ) + 2 x = 0 2 y + 1 4 2 y - x + 2 y = 0 0 = 0 x - x y + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 1

Como a principio, x , y , z ∈ R , precisamos apenas apenas satisfazer as equações das condições.

Inicialmente vamos tomar x = 0 . Desta forma, temos y = ± 1 e z = 0 . Se fizermos os mesmo para y = 0 , obteremos x = ± 1 e z = 0 .Sendo assim, os pontos onde a função assume os valores máximos são: ( 1,0 , 0 ) ; ( - 1,0 , 0 ) ; ( 0,1 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) .De fato esses são os unicos pontos que satisfazem simultaneamente as equações.

Resposta

( 1,0 , 0 ) ; ( - 1 , 0,0 ) ; ( 0,1 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) .

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13. Encontre o valor máximo de f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , sujeita as restrições g x , y , z = 2 x - y + z = 0 e h x , y , z = x 2 + y 2 + 3 z 2 = 30 .
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