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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 27

Caixa retangular de maior volume em uma esfera Encontre as dimensões da caixa retangular fechada com máximo volume que pode ser inscrita na esfera unitária.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos as dimensões de uma caixa fechada e retangular, cujo volume máximo, que pode ser inscrita em uma esfera unitária. Vamos lá!

Passo 2

Veja que o volume pode ser dado pela fórmula a seguir: V = x y z .Agora, a a esfera unitária pode ser escrita da seguinte forma:

g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0 .

Aqui, vamos calcular os gradientes das funçőes para aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ V = y z i + x z j + x y k ∇ g = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Aqui, aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagranges, e encontramos que:

∇ V = λ ∇ g y z = λ x x z = λ y . x y = λ z

Portanto,

x y z = λ x 2  e  x y z = λ y 2 . 

Concluímos então que y = ± x , levando à z = ± x .Substituindo então em g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0 temos:

x 2 + x 2 + x 2 = 1 x = 1 3

Portanto, as dimensões da caixa são 1 3 por 1 3 por 1 3 para um volume máximo.

Resposta

Resposta nos passos.

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