13. Encontre o valor máximo de f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , sujeita as restrições

g x , y , z = 2 x - y + z = 0 e h x , y , z = x 2 + y 2 + 3 z 2 = 30 .

Passo 1

Como queremos encontrar o valor máximo de f sujeita a duas restrições, vamos utilizar do método dos multiplicadores de lagrange.

Encontrar os pontos onde f pode assumir valor máximo, é resoler a seguinte equação: ∇ f P +   λ 1 ∇ g P + λ 2 ∇ h ( P ) = 0 , onde g ( P ) e h P são nossas restrições. Isto é:

2 x + 2 λ 1 + 2 λ 2 x = 0 2 y - λ 1 + 2 λ 2 y = 0 2 z + λ 1 + 6 λ 2 z = 0 2 x - y + z = 0 x 2 + y 2 + 3 z 2 = 30

Somando as equações (1) e duas vezes (2), temos que: 2 x + 2 y + 2 λ 2 x + 2 y = 0 ↔ λ 2 = - 1

Substituindo λ 2 no sistema, temos:

2 x + 2 λ 1 - 2 x = 0 2 y - λ 1 - 2 y = 0 2 z + λ 1 - 6 z = 0 2 x - y + z = 0 x 2 + y 2 + 3 z 2 = 30 ↔ 2 λ 1 = 0 - λ 1 = 0 λ 1 - 4 z = 0 2 x - y + z = 0 x 2 + y 2 + 3 z 2 = 30

E daí temos que λ 1 = 0

Dessas equações temos que x , y , z ∈ R , e como uma das nossas condições é similar a nossa função em questão, basta pegar qualquer ponto ( x , y , z ) que a imagem da função será 30.

Resposta

30.

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