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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 24

Extremos em uma esfera Encontre os pontos na esfera x2

+ y2 + z2 = 25, onde ƒ(x, y, z) = x + 2y + 3z tenha seus valores

máximo e mínimo

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos os pontos sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 no qual f ( x , y , z ) = x + 2 y + 3 z possui seus valores de máximo e mínimo. Vamos lá!

Passo 2

Começaremos encontrando o gradiente das funções para aplicar ao método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f = i + 2 j + 3 k ∇ g = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange chegamos a:

∇ f = λ ∇ g i + 2 j + 3 k = λ ( 2 x i + 2 y j + 2 z k )

Passo 3

Aqui vamos separar as componentes:

1 = 2 x λ 2 = 2 y λ 3 = 2 z λ

Passo 4

Observamos, então, que:

x = 1 2 λ , y = 1 λ = 2 x , z = 3 2 λ = 3 x . 

Agora, usando x = 1 2 λ , y = 1 λ = 2 x , z = 3 2 λ = 3 x , na função x 2 + y 2 + z 2 = 25 , encontraremos os possíveis valores para x , y e z .

x 2 + ( 2 x ) 2 + ( 3 x ) 2 = 25 x = ± 5 14

Passo 5

Logo, os valores assumidos são:

x = 5 14 , y = 10 14 , z = 15 14 x = - 5 14 , y = - 10 14 , z = - 15 14

Portanto, para: f 5 14 , 10 14 , 15 14 = 5 14 , temos o valor máximo para a função.E para f - 5 14 , - 10 14 , - 15 14 = - 5 14 , temos o valor mínimo para a função.

Resposta

Resposta nos passos.

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