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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 17

Mínima distância a um ponto Encontre o ponto no plano

x + 2y + 3z = 13 mais próximo ao ponto (1, 1, 1)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nosso objetivo é encontrarmos o ponto no plano x + 2 y + 3 z = 13 mais próximo do ponto ( 1,1 , 1 ) . Então, acompanhe a resolução a seguir. Vamos lá!

Passo 2

Veja o quadrado da distância em relação ao ponto pedido é:

f ( x , y , z ) = ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 .

Passo 3

multiplicadores de Lagrange:

∇ f = 2 ( x - 1 ) i + 2 ( y - 1 ) + 2 ( z - 1 ) ∇ g = i + 2 j + 3 k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange chegamos a:

∇ f = λ ∇ g 2 ( x - 1 ) i + 2 ( y - 1 ) j + 2 ( z - 1 ) k = λ ( i + 2 j + 3 k )

Passo 4

Separando as componentes, temos que:

2 ( x - 1 ) = λ 2 ( y - 1 ) = 2 λ 2 ( z - 1 ) = 3 λ

Substituindo 2 ( x - 1 ) = λ nas outras duas funções, vamos encontrar:

2 ( y - 1 ) = 2 [ 2 ( x - 1 ) ] 2 ( z - 1 ) = 3 [ 2 ( x - 1 ) ]

Aqui, vamos isolar x na primeira equação, repare: x = y + 1 2 , usando em z , chegamos a :

z + 2 = 3 y + 1 2 z = 3 y - 1 2

Agora, usando os valores x e y no plano pedido, temos:

y + 1 2 + 2 y + 3 3 y - 1 2 - 13 = 0 y = 2

Vamos voltar o valor y = 2 , encontramos que x e z valem:

x = 3 2 z = 5 2

Resposta

Portanto, o ponto mais próximo é o 3 2 , 2 , 5 2 .

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