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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 40 a

Encontre:

y = l o g_(1)/(x) e

Passo 1

Quando queremos calcular exercícios como esse, temos que transformar os termos em função do logaritmo natural.

Depois, vamos resolver o exercício com diferenciação logarítmica.

O primeiro passo desse exercício é analisar a função e ver o que pode ser feito:

y = l o g_(1)/(x) e

Agora, podemos transformar em logaritmo natural.

Isso significa que iremos mudar a base para o valor de e (número de Euler). Vamos fazer com que a base e o logaritmando se transformem na fração de novos logaritimandos de base e .

Então, eu posso dizer que:

l o g_(1)/(x) e = (l o g_e e)/(l o g_e ((1)/(x)))

Logo:

l o g_(1)/(x) e = (l n ( e ))/(l n ((1)/(x))) = (1)/(l n ((1)/(x)))

Agora, podemos começar o processo de diferenciação.

Passo 2

Vamos diferenciar a função :

y = (1)/(l n ((1)/(x)))

Aplicando a diferenciação em ambos os lados:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) . [(1)/(l n ((1)/(x)))]

Vamos inverter a fração do logaritmo para facilitar o cálculo:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) . [(- 1)/(l n (x))]

Para resolver essa derivada usamos a derivada do quociente :

(d y)/(d x) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

Onde:

f = - 1

g = l n (x)

Resolvendo:

(d y)/(d x) = (f^' g - g ' f)/(g^2) = (0 - ( - (1)/(x) ))/((ln (x))^2)

(d y)/(d x) = (1)/(x . (ln (x))^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(x . (ln (x))^2)

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