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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 22

Diferencie a função dada

F(x) = log ( x^2 2^(x^2 + 1) )

Passo 1

Vamos relembrar algumas Propriedades de Derivadas

(d)/(d x) (f o g (a x)) = f^' (g (a x)) . g^' (a x) . a ; Sendo “a” uma constante.

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

(d)/(d x) a^(f ( x )) = l n a . a^(f ( x )) . (d)/(d x) f ( x )

(d)/(d x) (f ( x ) . g ( x )) = f^' g + g^' f [ R e g r a d a C a d e i a ]

Propriedade do Expoente

a^b = e^(b ln (a))

Passo 2

Vamos primeiro transformar log em ln

(d)/(d x) log ( x^2 2^(x^2 + 1) ) = (1)/(l n 10) (d)/(d x) ln ( x^2 2^(x^2 + 1) )

Fazendo u = ln x^2 2^(x^2 + 1) , Vamos usar a regra da cadeia.

Ln u = (1)/(u) . u^'

Logo nossa derivada fica :

(1)/(x^2 2^(x^2 + 1)) . (d)/(d x) ( x^2 2^(x^2 + 1) )

Agora vamos Calcular (d)/(d x) ( x^2 2^(x^2 + 1) )

Usando novamente a regra da cadeia temos :

2x . 2^(x^2 + 1) + x². (d)/(d x) (2^(x^2 + 1))

Sabendo que 2^(x^2 + 1) = e^((x^2 + 1) ln (2))

Logo

(d)/(d x) (2^(x^2 + 1)) = (d)/(d x) (e^((x^2 + 1) ln (2))) = l n 2 . 2 x . e^((x^2 + 1) ln (2))

= 2 x . l n 2 . 2^(x^2 + 1)

Passo 3

Logo (d)/(d x) log x^2 2^(x^2 + 1) = (1)/(l n 10) . (1)/(x^2 2^(x^2 + 1)) . ( 2x . 2^(x^2 + 1) + x ² . 2 x . l n 2 . 2^(x^2 + 1) )

Simplificando as expressões temos que :

= (2 (ln (2) x^2 + 1))/(ln (10) x)

Resposta

(d)/(d x) log ( x^2 2^(x^2 + 1) ) = (2 (ln (2) x^2 + 1))/(ln (10) x)

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