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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 6

2 – 20. Diferencie a função.

6. f x = log 10 ⁡ x x - 1

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = log 10 ⁡ x x - 1

E nosso objetivo é calcular sua derivada...

Parece complicado?

A primeira coisa que podemos perceber da nossa função é que ela é uma função composta... dessa forma, para calcular sua derivada vamos aplicar a regra da cadeia.

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Porém, na função de dentro, temos x x - 1 , ou seja, uma fração de funções... logo, para calcular a derivada desse termo vamos aplicar a regra do quociente

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Veja só!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f aplicando a regra da cadeia...

f ' x = d x x - 1 d x · d log 10 ⁡ h x d h x

Agora aplicamos a regra do quociente na derivada de x x - 1 e na derivada de l o g , como estamos tratando h x como uma variavel, vamos reescreve-la como uma variavel...

f ' x = d x d x · x - 1 - x · d x - 1 d x x - 1 2 · d log 10 ⁡ h d h

Pela regra da potência, temos

d x d x = 1

d x - 1 d x = 1

Agora, pela definição 1 dessa seção, temos que

d log a ⁡ x d x = 1 x ln ⁡ a

Portanto, a derivada de log 10 ⁡ h é

d log 10 ⁡ h d h = 1 h ln ⁡ 10

Substituindo tudo isso em f '

f ' x = 1 · x - 1 - x · 1 x - 1 2 · 1 h ln ⁡ 10

f ' x = - 1 x - 1 2 · 1 h ln ⁡ 10

Não podemos deixar o resultado em função de h , então voltamos h para x x - 1

f ' x = - 1 x - 1 2 · 1 x x - 1 ln ⁡ 10

f ' x = - 1 x x - 1 ln ⁡ 10

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = - 1 x x - 1 ln ⁡ 10

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