Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 33
Um dipolo elétrico consiste em duas cargas elétricas de módulos iguais e sinais opostos. Se as cargas forem e e estiverem localizadas a uma distância , então o campo elétrico no ponto na figura é
Expandindo essa expressão para como uma série de potências de , mostre que é aproximadamente proporcional a quando está muito distante do dipolo.
Passo 1
Olá, tudo bem?
A questão nos pede para mostrar que a expressão
Pode ser escrita como
onde é uma constante de proporcionalidade, usando uma série de potências que tem a cara
e que tenha
como um dos termos dentro da série de potências, quando o ponto estiver muito longe.
E o ponto estará muito longe do dipolo quando for muito grande.
Poderíamos utilizar série de Taylor? Claro, mas calcular ela envolve derivadas que são trabalhosas.
Então qual seria o melhor caminho?
Escolher a série binomial!
Pois, ela não vai envolver derivadas e é mais direta quando temos a potência de uma soma ou subtração. Que é o que temos nesse termo aqui:
Viu como é parecido?
Assim, precisamos escrever essa expressão de para termos algo do tipo.
Passo 2
Ok, vamos começar a manipular nossa expressão para aparecer um termo do tipo
Para isso, vamos colocar o em evidência na parte de baixo.
Porque aí com essa jogada que fizemos, a gente consegue colocar o
em evidência:
E aiiii, com isso, não sei se você tá vendo a mesma coisa que eu, mas isso aí em cima tem algo bastante promissor pro que a gente quer, que é escrever uma série binomial.
Isso porque temos
Que quer dizer isso aqui
Onde
Beleza?
Passo 3
Podemos então usar a série binomial para expandir essa parte da expressão de . Assim, utilizando a fórmula:
Temos
Substituindo isso na expressão de que achamos ali no passo 2:
Abrindo os fatoriais:
Simplificando:
Aplicando o sinal negativo e cancelando os 1’s:
Cancelando os 1’s:
Passo 4
Para o ponto estar muito distante do dipolo, temos que fazer ficar muito grande, então os termos
ficam muito pequenos, e como já está muito grande,
Já será um número muito pequeno, então
será basicamente .
Logo, todo termo com exponencial diferente de na série será considerado . Parecido com limites quando esse tende ao infinito e o termo tende a .
Assim,
Ou seja, é proporcional a
Note que a equação ficou
Onde
Show?
Resposta
A resposta é a demonstração que foi feita nos passos anteriores.