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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 3

Seja f x , y = x arctan ⁡ x y . Calcule ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) , onde u → aponta na direção e sentido de máximo crescimento de f , no ponto ( 1,1 ) .

Passo 1

A questão fornece a função f x , y = x arctan ⁡ x y e pede para calcularmos a derivada direcional máxima no ponto ( 1,1 ) . Para isso você deve lembrar apenas que a derivada direcional é máxima na direção do gradiente e seu valor é dado pela norma deste vetor:

∂ f ∂ u → 1,1 = ∇ f ( 1,1 )

Assim, precisamos apenas calcular as derivadas parciais de f .

Passo 2

Derivando f com relação a x :

∂ f ∂ x = arctan ⁡ x y + x ⋅ 1 1 + x y 2 ⋅ 1 y = arctan ⁡ x y + x y x 2 + y 2

Assim,

∂ f ∂ x 1,1 = arctan ⁡ 1 + 1 1 + 1 = 1 2 + π 4

Fazendo a mesma coisa com relação a y :

∂ f ∂ y = x ⋅ 1 1 + x y 2 ⋅ - x y 2 = - x 2 x 2 + y 2

Portanto,

∂ f ∂ y 1,1 = - 1 1 + 1 = - 1 2

Passo 3

Temos então que

∇ f 1,1 = π 4 + 1 2 ,   - 1 2

Assim,

∂ f ∂ u → 1,1 = ∇ f ( 1,1 ) = π 4 + 1 2 2 + - 1 2 2 = π 2 16 + π 4 + 1 2

Resposta

π 2 16 + π 4 + 1 2

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )