Qual é a distância vertical máxima entre a reta y = x + 2 e a parábola y = x 2 para - 1 ≤ x ≤ 2 ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a máxima distância vertical entre a reta y = x + 2 e a parábola y = x 2 , no intervalo [ - 1 ,   2 ] . Para visualizar melhor o que ele quer dizer, vamos esboçar o gráfico das curvas e observar um ponto x qualquer:

Essa distância vertical será uma função x , que nós podemos chamar de v ( x ) . Dessa forma, a distância entre a reta e a parábola será dada por:

v x = x + 2 - x 2

Mas a gente quer que essa distância seja máxima, então precisamos calcular a derivada dessa função e igualar o resultado a zero, para encontrar seu ponto de máximo, através do teste da primeira derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Como queremos a maior distância entre as curvas, vamos começar derivando nossa função v ( x ) :

v ' x = 1 - 2 x

Agora igualando esse resultado a zero:

1 - 2 x = 0

E isolando x , temos:

⇒ 1 = 2 x

⇒ x = 1 2  

Esse é o único ponto crítico da função. Então, vamos verificar se este ponto é um ponto de máximo no intervalo dado. Pra isso, vamos atribuir alguns valores a v x = x + 2 - x 2 , olha só:

v - 1 = - 1 + 2 - - 1 2 = 0

v 1 2 = 1 2 + 2 - 1 2 2 = 9 4

v 2 = 2 + 2 - 2 2 = 0

Como a função cresce antes de x e decresce depois dele, temos que x = 1 2 é de fato um ponto de máximo. Portanto, a distância vertical máxima entre as curvas é dada por v 1 2 = 9 4 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

9 4

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