Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 46
A distribuição de temperatura na chapa circular é:
Encontrar as temperaturas máxima e mínima da chapa.
Passo 1
Antes de analisarmos a fronteira da chapa vamos analisar os pontos críticos em seu interior, jóia? Sendo assim, derivando parcialmente a função que nos foi dada e igualando-a a zero, teremos:
Igualando a zero:
Da primeira equação tiramos que e da segunda tiramos que , dessa forma, um ponto crítico no interior da chapa é .
Passo 2
Agora vamos partir para a análise da fronteira, tudo bem? Sabendo que , temos que:
Derivando e igualando a zero, teremos:
Dessa derivada tiramos o ponto .
Passo 3
Como consideramos apenas a raíz positiva da equação da circunferência, agora teremos que considerar a parte negativa, se liga:
Derivando e igualando a zero, teremos:
Dessa derivada tiramos o ponto . Por fim, analisando todos os pontos críticos que encontramos:
Sendo assim, podemos concluir que a temperatura máxima da chapa é e a temperatura mínima da mesma é .
Resposta
Temperatura máxima: ;
Temperatura mínima: .