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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 27

27. int (sqrt(x + 3))/(x - 1) d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral abaixo, usando método da substituição:

int (sqrt(x + 3))/(x - 1) d x

Fazendo – se

u^2 = x + 3

x = u^2 - 3

d x = 2 u d u

Teremos:

= int (u)/(u^2 - 3 - 1) * 2 u d u

= int (2 u^2)/(u^2 - 4) d u

= 2 int (u^2)/(u^2 - 4) d u

Para resolver a questão, devemos somar - 4 + 4 , lembrando que isso não modifica o valor, pois estamos somando 0. ( - 4 + 4 = 0 )

2 int ((4)/(u^2 - 4) + (u^2 - 4)/(u^2 - 4)) d u

Portanto,

= 2 int ((4)/(u^2 - 4) + 1) d u

Divida a integral em duas,

= 8 int (1)/(u^2 - 4) d u + 2 int 1 d u

= 8 int (d u)/(u^2 - 2^2) + 2 int 1 d u

Passo 2

No final do livro, em Tabelas de integrais, temos:

- 8 int (d u)/(2^2 - u^2) + 2 int 1 d u

Assim, temos:

= - 8 * ((1)/(2 a) ln |(2 + u)/(2 - u)|) + 2 u + c

= - 8 * ((1)/(4) ln |(2 + u)/(2 - u)|) + 2 u + c

- 2 ln |(2 + u)/(2 - u)| + 2 u + c

Substituindo u = sqrt(x + 3)

- 2 ln |(2 + sqrt(x + 3))/(2 - sqrt(x + 3))| + 2 sqrt(x + 3) + c

Resposta

- 2 ln |(2 + sqrt(x + 3))/(2 - sqrt(x + 3))| + 2 sqrt(x + 3) + c

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