∫ 1 2 x l n x d x  

Passo 1

Se liga nessa dica questões envolvendo lnx multiplicado por x é sempre bom lembrarmos que

d l n x d x = 1 x

Pois fazendo uma substituição de variável podemos cortar esse termo

Mas lembra da regra do produto de derivada ??

u v ' = u ' v + u v '

Agora imagina que queremos integrar uma parada que é u ' v   podemos integrar dessa forma aqui ó

∫ u ' v = ∫ ( u v ) ' +   ∫ u v ' = u v + ∫ u v '  

Passo 2

Entao se liga em como vamos sair dessa cilada

Seja

v   = ln ⁡ x     ⟹ v ' = 1 x

u ' = x     ⟹ u = x 2 2

Vamos botar na formula do produto

∫ 1 2 x l n x d x =   x 2 2 l n x ​ 1 → 2 +   ∫ 1 2 x 2 2 1 x =   x 2 2 l n x ​ 1 → 2 + x 2 4 ​ 1 → 2 = l n 4 - 3 4

Resposta

∫ 1 2 x l n x d x = l n 4 - 3 4

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