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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 19

int (d x)/(x sqrt(4 x^2 + x - 3 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

4 x^2 + x - 3 = 4 x^2 + x + (1)/(16) - (49)/(16) = (2 x + (1)/(2))^2 - (49)/(16)

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta = sec^2 theta - 1

Seja

(2 x + (1)/(4)) = (7)/(4) s e c theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (2 x + (1)/(4)))/(d x) = (d ( (7)/(4) s e c theta ))/(d x) ⟹ (7)/(4) s ec theta tg theta (d theta)/(d x) = 2 ⟹ (7)/(8) secthetatgtheta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(x sqrt(4 x^2 + x - 3 )) = int (d x)/(x sqrt((2 x + (1)/(4))^2 - (49)/(16) )) = int ((7)/(8) secthetatgtheta d theta)/(((7)/(8) s e c theta - (1)/(8)) sqrt(((7)/(4) s e c theta)^2 - (49)/(16) ))

int ((7)/(8) secthetatgtheta d theta)/(((7)/(8) s e c theta - (1)/(8)) sqrt(((7)/(4) s e c theta)^2 - (49)/(16) )) = int (sectheta d theta)/(((7)/(4) s e c theta - (1)/(4))) = int (4 sectheta d theta)/((7 s e c theta - 1))

int (4 (1)/(c o s theta))/((7 - c o s theta)/(c o s theta)) d theta = int (4)/(7 - c o s theta) d theta = int (4)/(7 - ((1 - t g^2 ((theta)/(2))))/(1 + t g^2 ((theta)/(2)))) d theta

= int (4 (1 + t g^2 ((theta)/(2))))/(7 (1 + t g^2 ((theta)/(2))) - 1 + t g^2 ((theta)/(2))) d theta = int ((4 + 4 t g^2 ((theta)/(2))))/(6 + 8 t g^2 ((theta)/(2))) d theta

Seja

t g (theta)/(2) = t

Derivando a equação acima

(d (t))/(d theta) = (d (t g (theta)/(2)))/(d theta) ⟹ (1)/(2) se c^2 ((theta)/(2)) d theta = d t ⟹ (1)/(2) (1 + t^2) d theta = d t

Substituindo na integral

int ((4 + 4 t^2))/(( 6 + 8 t^2 )) (2 d t)/((1 + t^2)) = 8 int (d t)/(6 + 8 t^2) = (4)/(3) int (d t)/(1 + (4)/(3) t^2) = (4 sqrt(3))/(6) a r c t g ( (2 t)/(sqrt(3)) )

Passo 3

Retornando a variável inicial

(2 sqrt(3))/(3) a r c t g ( (2 t)/(sqrt(3)) ) ) = (2 sqrt(3))/(3) a r c t g ( (2 t g (theta)/(2))/(sqrt(3)) ) = (2 sqrt(3))/(3) a r c t g ((sqrt((4 x - 3)/(x + 1)))/(sqrt(3)))

Resposta

int (d x)/(x sqrt(4 x^2 + x - 3 )) = (2 sqrt(3))/(3) a r c t g ((sqrt((4 x - 3)/(x + 1)))/(sqrt(3))) + C

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