Vamos, primeiramente, completar o quadrado
4 x^2 + x - 3 = 4 x^2 + x + (1)/(16) - (49)/(16) = (2 x + (1)/(2))^2 - (49)/(16)
Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :
t g^2 theta = sec^2 theta - 1
Seja
(2 x + (1)/(4)) = (7)/(4) s e c theta
Derivando com relação a x a equação acima
(d (2 x + (1)/(4)))/(d x) = (d ( (7)/(4) s e c theta ))/(d x) ⟹ (7)/(4) s ec theta tg theta (d theta)/(d x) = 2 ⟹ (7)/(8) secthetatgtheta d theta = d x
Substituindo na nossa integral
int (d x)/(x sqrt(4 x^2 + x - 3 )) = int (d x)/(x sqrt((2 x + (1)/(4))^2 - (49)/(16) )) = int ((7)/(8) secthetatgtheta d theta)/(((7)/(8) s e c theta - (1)/(8)) sqrt(((7)/(4) s e c theta)^2 - (49)/(16) ))
int ((7)/(8) secthetatgtheta d theta)/(((7)/(8) s e c theta - (1)/(8)) sqrt(((7)/(4) s e c theta)^2 - (49)/(16) )) = int (sectheta d theta)/(((7)/(4) s e c theta - (1)/(4))) = int (4 sectheta d theta)/((7 s e c theta - 1))
int (4 (1)/(c o s theta))/((7 - c o s theta)/(c o s theta)) d theta = int (4)/(7 - c o s theta) d theta = int (4)/(7 - ((1 - t g^2 ((theta)/(2))))/(1 + t g^2 ((theta)/(2)))) d theta
= int (4 (1 + t g^2 ((theta)/(2))))/(7 (1 + t g^2 ((theta)/(2))) - 1 + t g^2 ((theta)/(2))) d theta = int ((4 + 4 t g^2 ((theta)/(2))))/(6 + 8 t g^2 ((theta)/(2))) d theta
Seja
t g (theta)/(2) = t
Derivando a equação acima
(d (t))/(d theta) = (d (t g (theta)/(2)))/(d theta) ⟹ (1)/(2) se c^2 ((theta)/(2)) d theta = d t ⟹ (1)/(2) (1 + t^2) d theta = d t
Substituindo na integral
int ((4 + 4 t^2))/(( 6 + 8 t^2 )) (2 d t)/((1 + t^2)) = 8 int (d t)/(6 + 8 t^2) = (4)/(3) int (d t)/(1 + (4)/(3) t^2) = (4 sqrt(3))/(6) a r c t g ( (2 t)/(sqrt(3)) )