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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 29

int (d x)/(( 2 x - 1 ) sqrt(x^2 - x + (5)/(4) ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x^2 + x - 3 = (x - (1)/(2))^2 + 1

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta + 1 = sec^2 theta

Seja

(x - (1)/(2)) = t g theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (x - (1)/(2)))/(d x) = (d ( t g theta ))/(d x) ⟹ se c^2 theta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ se c^2 theta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/((2 x - 1) sqrt(x^2 - x + (5)/(4) )) = int (d x)/((2 x - 1) sqrt((x - (1)/(2))^2 + 1 )) = int (se c^2 theta d theta)/((2 t g theta) sqrt((t g theta)^2 + 1 ))

= (1)/(2) int c s c theta d theta = - (1)/(2) ln | c s c theta + c t g theta |

Passo 3

Retornando a variável inicial

- (1)/(2) ln | c s c theta + c t g theta | = - (1)/(2) ln |(sqrt(4 + (2 x - 1)^2))/(2 x - 1) + (2)/(2 x - 1)|

Resposta

int (d x)/(( 2 x - 1 ) sqrt(x^2 - x + (5)/(4) )) = - (1)/(2) ln |(sqrt(4 + (2 x - 1)^2))/(2 x - 1) + (2)/(2 x - 1)| + C

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Calcule as integrais supondo que n seja um inteiro positivo e que b ≠ 0 . ∫ a + b x nd x
Calcule cada integral modificando, inicialmente, o formato do integrando e, então, fazendo uma substituição apropriada. ∫ e 2 ln ⁡ xd x
Calcule as integrais com a ajuda das Fórmulas (5), (6), (7). ∫ d x 9 - x 2
Calcule as integrais supondo que n seja um inteiro positivo e que b ≠ 0 . ∫ a + b xd x
Calcule as integrais com a ajuda das Fórmulas (5), (6), (7). ∫ d x 9 - 4 x 2