14. z = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Derivada de Polinômio

A brincadeira agora é saber a derivada de um polinômio qualquer  x n . Bem, o resultado dessa brincadeira é:

f ' x = n x n - 1

Basta multiplicar o polinômio por  n  e subtrair  1  no  n  do expoente de  x .

Derivada de constante

A brincadeira agora é saber a derivada de uma constante qualquer  x n . Bem, o resultado dessa brincadeira é:

f x = x n

f ' x = n

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 3

f ( z ) = x 2 - y 2 x 2 + y 2

∂ z ∂ x = x 2 + y 2 ⋅ 2 x - 0 - x 2 - y 2 ⋅ ( 2 x + 0 ) x 2 + y 2 2

= 2 x 3 + 2 x y 2 - 2 x 3 + 2 x y 2 x 2 + y 2 2

= 4 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 4

f ( z ) = x 2 - y 2 x 2 + y 2

∂ z ∂ y = x 2 + y 2 ⋅ 0 - 2 y - x 2 - y 2 ⋅ ( 0 + 2 y ) x 2 + y 2 2

= - 2 x 2 y - 2 y 3 - 2 y x 2 + 2 y 3 x 2 + y 2 2

= - 4 x 2 y x 2 + y 2 2

Resposta

∂ z ∂ x = 4 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ z ∂ y = - 4 x 2 y x 2 + y 2 2

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