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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 19

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

z x , y = 2 x + 3 y 10

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x a gente vai tratar y como se fosse um número qualquer e derivar normal em relação a x .

Daí a gente faz isso para x e para y e temos nossa resposta!

Passo 2

Seja a função z x , y = 2 x + 3 y 10

Fixando y e derivando em relação a x , temos:

z x = 2 x + 3 y 10

Lembrando: A gente tá imaginando que y é uma constante, então a única variável da função é x

Mas veja que nesse caso não conseguimos separar x e y facilmente, para isso é necessário fazer a regra da cadeia.

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u   . d g x d x

O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”

Então nesse caso vamos ter:

d z d x = d   ( u 10 ) d u   . d 2 x + 3 y d x

z x = 10 ( 2 x + 3 y ) 9 ⋅ 2

z x = 20 ( 2 x + 3 y ) 9

E da mesma forma, agora que já aprendemos, podemos repetir o processo para y :

Fixando x e derivando em relação a y , temos:

z y = 2 x + 3 y 10

d z d y = d   ( u 10 ) d u ⋅ d 2 x + 3 y d y

z y = 10 ( 2 x + 3 y ) 9 ⋅ 3

z y = 30 ( 2 x + 3 y ) 9

Resposta

z x = 20 ⋅ 2 x + 3 y 9  

z y = 30 ⋅ 2 x + 3 y 9

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