Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

z = t * g(xy)

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x a gente vai tratar y como se fosse um número qualquer e derivar normal em relação a x .

Daí a gente faz isso para x e para y e temos nossa resposta!

Passo 2

Temos a função

z = t g   ( x y )

*Lembre-se que a derivada de t g   x = s e c ²   ( x )

Então, primeiramente, tratando o y como uma constante e derivando a função em x , temos:

z x = t g   ( x y )

Mas veja que nesse caso não conseguimos separar x e y facilmente, para isso é necessário fazer a regra da cadeia.

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”

Então nesse caso vamos ter:

d z d x = d   t g ( u ) d u ⋅ d x y d x

z x = y   s e c 2 x y

E de forma bem similar, quando fixarmos x como uma constante e derivarmos em relação a y nós teremos:

z y = x   s e c 2 x y

Resposta

z x = y   s e c 2 x y

z y = x   s e c 2 x y

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