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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 28

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

28 –

f x , y = x y

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem?

Nessa questão nós temos a função f x , y e queremos determinar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, f x ( x , y ) e f y x , y .

Para calcular a derivada parcial em relação a x , f x , vamos tratar y como constante. Da mesma forma, para calcular f y , vamos tratar x   como uma constante.

Beleza? Então vem comigo.

Passo 2

Seja a função

f x , y = x y

Fixando y e derivando em relação a x , temos:

f x = y x y - 1

Fixando x e derivando em relação a y ,

f y = ∂ ∂ y x y

Aqui é necessário utilizar a ferramenta de

e ln ⁡ f ( x , y )   = f ( x , y )

Lembre-se da definição de logaritmo: se

ln ⁡ b = x ,

então

e x = b

Assim, temos:

f x , y =   e l n   x y

f x , y =   e y ln ⁡ x

Agora sim, podemos derivar em relação a y , fixando o valor de x. Além disso, é necessária a utilização da regra da cadeia:

f y = e y ⋅ ln ⁡ x d d y ( y ⋅ ln ⁡ x )

Como x   é considerado constante nessa derivada, ficamos com

f y = e y ⋅ ln ⁡ x   ln ⁡ x

Como e y ⋅ ln ⁡ x =   x y , a resposta ideal da questão pode ser dada como

f y =   x y ln ⁡ x

Resposta

f x = y   x y - 1

f y =   x y ⋅ ln ⁡ x

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