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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 17

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f x , y = x - y x + y

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? Vamos resolver uma questãozinha de derivada?

Aqui temos que achar as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x - y x + y

Pode perceber que a função polinomial é uma fração. Sendo assim, podemos aplicar a regra do quociente para resolvermos essa derivada.

  1. Regra do Quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

Onde

u ' ( v ( x ) ) é a derivada de u em relação a v , avaliada em v ( x ) .

v ' ( x ) é a derivada de v em relação a x .

Aliás, quando a questão pede derivada de primeira ordem, significa que precisamos derivar apenas uma vez em relação a x e uma vez em relação a y .

Se ligou nas dicas? Agora podemos começar agora!

Passo 2

Derivada em função de x . Para

f x , y = x - y x + y

Temos

u = x - y

v = x + y

u ' = 1

v ' = 1

Substituindo na equação da regra do quociente.

f x = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

f x = 1 ∙ x + y - x - y ∙ 1 x + y 2

f x = x + y - x + y x + y 2

Anula o x , restando

f x = 2 y x + y 2

Passo 3

Derivada em função de y . Para

f x , y = x - y x + y

Temos

u = x - y

v = x + y

u ' = - 1

v ' = 1

Substituindo na equação da regra do quociente.

f x = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

f x = ( - 1 ) ∙ x + y - x - y ∙ 1 x + y 2

f x = - x - y - x + y x + y 2

Anulado y , restando

f x = - 2 x x + y 2

Show! Até a próxima!

Resposta

f x =   2 y ( x + y ) ²

f y =   - 2 x ( x + y ) ²

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