A equação de Bessel de ordem zero é x 2 y ″ + x y ' + x 2 y = 0 (a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular. (b) Mostre que as raízes da equação indicial são r 1 = r 2 = 0 . (c) Mostre que uma solução para x0 é J 0 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 2 x 2 n 2 2 n n ! 1 (d) Mostre que a série para J 0 ( x ) converge para todo x . A função J 0 é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.

(a) x 0 é um ponto regular.(b) r + n 2 a n + a n + 2 = 0 (c) y = J 0 ( x ) (d) A série converge para todo x .

Enunciado

(a ) A partir da equação dada, temos e . Os pontos singulares ocorrem quando , portanto, o ponto singular da equação dada é:

Para descobrir se é um ponto singular regular, verificamos se os seguintes limites são finitos:

Portanto, é um ponto singular regular.

(b) Agora assumimos que a solução é dada na forma:

A primeira derivada:

A segunda derivada é:

Se a nossa EDO está na forma:

Ao multiplicar os fatores pelos somatórios correspondentes, obtemos:

Agora ajustamos o índice dos dois primeiros somatórios para que neles expoente :

Avaliamos alguns termos para que todos os somatórios iniciem no índice e obtenham:

Combinando os termos, temos:

Ou seja, depois de simplificar:

Igualando os coeficientes de ambos os lados, obtemos:

Desde que , nós obtemos a equação:

Onde as duas raízes são nulas, ou seja:

Se:

A relação pode ser escrita como.

Teremos:

Portanto, escolhendo , a solução é igual a:

Vamos usar o teste de proporção para verificar se a série para converge para todos os :

Portanto, a série converge para todos os .

(a) é um ponto regular.

(b)

(c)

(d) A série converge para todo .