Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 9
Dizemos que A é um conjunto limitado se existe um tal que Prove que se A for limitado e se A contiver um número infinito de pontos, A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A afirmação é continua verdadeira se uma das hipóteses for omitida?
Passo 1
Vamos precisar de alguns resultados de teoria de conjuntos, tá?. Qualquer coisa, dá uma pesquisadinha.
Vamos lá.
Resposta
Sendo infinito, então existe um subconjunto infinito e enumerável }. Assim, tomando a sequencia é limitada, pois é limitado
Suponha (podemos fazer isso, pois o conjunto é infinito).
Como é limitada, pelo Teorema de Weirestrass, existe uma subsequência de convergente, suponha para Sendo os termos as sequência dois a dois distintos, no máximo um deles é . Eliminando-o, se necessário, obtemos uma sequência de pontos de , todos diferentes de , com limite .
Ou seja, para todo existe tal que
Isto é,
Portanto é ponto de acumulação.
Aqui , e . (pontos de
Se retiramos a limitação, não conseguiremos garantir que dada uma sequencia, ela convergirá, o que nos tira a possibilidade da limitação, um exemplo de conjunto infinito que não ponto de acumulação é o conjunto dos números naturais. Esse tornássemos o conjunto finito, nem sempre funcionaria, por exemplo o conjunto formado por é finito e não possui pontos de acumulação.