Dizemos que A é um conjunto limitado se existe um tal que Prove que se A for limitado e se A contiver um número infinito de pontos, A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A afirmação é continua verdadeira se uma das hipóteses for omitida?

Sendo infinito, então existe um subconjunto infinito e enumerável }. Assim, tomando a sequencia é limitada, pois é limitado

Suponha (podemos fazer isso, pois o conjunto é infinito).

Como é limitada, pelo Teorema de Weirestrass, existe uma subsequência de convergente, suponha para Sendo os termos as sequência dois a dois distintos, no máximo um deles é . Eliminando-o, se necessário, obtemos uma sequência de pontos de , todos diferentes de , com limite .

Ou seja, para todo existe tal que

Isto é,

Portanto é ponto de acumulação.

Aqui , e . (pontos de

Se retiramos a limitação, não conseguiremos garantir que dada uma sequencia, ela convergirá, o que nos tira a possibilidade da limitação, um exemplo de conjunto infinito que não ponto de acumulação é o conjunto dos números naturais. Esse tornássemos o conjunto finito, nem sempre funcionaria, por exemplo o conjunto formado por é finito e não possui pontos de acumulação.