Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 4

Definia bola aberta, ponto de acumulação e conjunto aberto no R n .

Passo 1

Já vimos a definição de bola aberta para R 2 e R 3 , já sacamos qual a ideia central da definição, né cabra? Então agora é só estender a definição, quero dizer fechá ozoio e colar aqui a de R 3 , só que agora com mais entradas no vetor u   e no centro. Então simbora!

Vamos definir a bola aberta como o conjunto

B z ; r = { u ∈ R n |     u - v < r }

Onde z = x 1 , x 2 , ⋯ , x n   e   u = ( y 1 ,   y 2 ,   ⋯ ,   y n )  

Ou pra quem preferir,

B z ; r = u ∈ R n   y 1 - x 1 + y 2 - x 2 + ⋯ + y n - x n < r   }

Passo 2

Vamos definir ponto de acumulação... A ideia é a mesma que usamos para definir bola aberta. Ou seja,

“Dado A ⊆   R n       e x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈   R n       ( com x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ A   ou x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∉ A ). Dizemos que x 1 , x 2 , ⋯ , x n é ponto de acumulação de A se toda bola de centro x 1 , x 2 , ⋯ , x n conter pelo menos um ponto de A   diferente de x 1 , x 2 , ⋯ , x n "

Simbolicamente, x 1 , x 2 , ⋯ , x n   é ponto de acumulação se

B x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; r - x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∩ A ≠ ∅  

Passo 3

Igualmente ao que fizemos nos passos anteriores, um conjunto A ⊆   R n é aberto quando todo ponto de A é interior.

Resposta

Definição 1: (Bola aberta) É o conjunto

B z ; r = { u ∈ R n |     u - v < r }

Onde z = x 1 , x 2 , ⋯ , x n   e   u = ( y 1 ,   y 2 ,   ⋯ ,   y n ) ;

Definição 2: (Ponto de acumulação)

“Dado A ⊆   R n       e x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈   R n       ( com x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ A   ou x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∉ A ). Dizemos que x 1 , x 2 , ⋯ , x n é ponto de acumulação de A se toda bola de centro x 1 , x 2 , ⋯ , x n conter pelo menos um ponto de A   diferente de x 1 , x 2 , ⋯ , x n " ;

Definição 3: (Conjunto aberto)

Um conjunto A ⊆   R n é aberto quando todo ponto de A é interior.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam F → t = t , sen ⁡ t , 2 e G → t = 3 , t , t 2 . Calcule F → t ×G → t
Sejam F → ,G → ,H → três funções definidas em A ⊂ R e a valores em R 3 . Verifique que F → ⋅ G → + H → = F → ⋅ G → + F → ⋅ H →
Sejam F → t = t , sen ⁡ t , 2 e G → t = 3 , t , t 2 . Calcule F → t - 2G → t
Sejam F → ,G → ,H → três funções definidas em A ⊂ R e a valores em R 3 . Verifique que F → × G → + H → = F → × G → + F → × H →
Sejam F → ,G → ,H → três funções definidas em A ⊂ R e a valores em R 3 . Verifique que F → × G → = - G → × F →