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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 4

Definia bola aberta, ponto de acumulação e conjunto aberto no R n .

Passo 1

Já vimos a definição de bola aberta para R 2 e R 3 , já sacamos qual a ideia central da definição, né cabra? Então agora é só estender a definição, quero dizer fechá ozoio e colar aqui a de R 3 , só que agora com mais entradas no vetor u   e no centro. Então simbora!

Vamos definir a bola aberta como o conjunto

B z ; r = { u ∈ R n |     u - v < r }

Onde z = x 1 , x 2 , ⋯ , x n   e   u = ( y 1 ,   y 2 ,   ⋯ ,   y n )  

Ou pra quem preferir,

B z ; r = u ∈ R n   y 1 - x 1 + y 2 - x 2 + ⋯ + y n - x n < r   }

Passo 2

Vamos definir ponto de acumulação... A ideia é a mesma que usamos para definir bola aberta. Ou seja,

“Dado A ⊆   R n       e x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈   R n       ( com x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ A   ou x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∉ A ). Dizemos que x 1 , x 2 , ⋯ , x n é ponto de acumulação de A se toda bola de centro x 1 , x 2 , ⋯ , x n conter pelo menos um ponto de A   diferente de x 1 , x 2 , ⋯ , x n "

Simbolicamente, x 1 , x 2 , ⋯ , x n   é ponto de acumulação se

B x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; r - x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∩ A ≠ ∅  

Passo 3

Igualmente ao que fizemos nos passos anteriores, um conjunto A ⊆   R n é aberto quando todo ponto de A é interior.

Resposta

Definição 1: (Bola aberta) É o conjunto

B z ; r = { u ∈ R n |     u - v < r }

Onde z = x 1 , x 2 , ⋯ , x n   e   u = ( y 1 ,   y 2 ,   ⋯ ,   y n ) ;

Definição 2: (Ponto de acumulação)

“Dado A ⊆   R n       e x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈   R n       ( com x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ A   ou x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∉ A ). Dizemos que x 1 , x 2 , ⋯ , x n é ponto de acumulação de A se toda bola de centro x 1 , x 2 , ⋯ , x n conter pelo menos um ponto de A   diferente de x 1 , x 2 , ⋯ , x n " ;

Definição 3: (Conjunto aberto)

Um conjunto A ⊆   R n é aberto quando todo ponto de A é interior.

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Sejam vec F (t) = (t , sen t , 2) e vec G (t) = (3 , t , t^2) . Calculevec F (t) - 2 vec G (t)
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