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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 10

10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2   . (i)

a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 0 .

b) Detetermine uma coleção de funções f ( x , t ) que satisfaça (i).

Passo 1

a) Lembrando que ∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v ∂ g ∂ u , vamos calcular primeiro ∂ g ∂ u , usando a regra da cadeia:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u  

Como x = u + v e t = u - v , então ∂ x ∂ u = 1   e   ∂ y ∂ u = 1 .

Substituindo ∂ x ∂ u = 1   e   ∂ t ∂ u = 1

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ f ∂ y ( 1 )

Portanto

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ t

Passo 2

Vamos calcular agora ∂ ∂ v ∂ g ∂ u

∂ ∂ v ∂ g ∂ u = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ ∂ x ∂ f ∂ t ∂ x ∂ v + ∂ ∂ t ∂ f ∂ x ∂ t ∂ v + ∂ ∂ t ∂ f ∂ t ∂ t ∂ v

Como x = u + v e t = u - v , então ∂ x ∂ v = 1   e   ∂ t ∂ v = - 1 .

Substituindo ∂ x ∂ v = 1   e   ∂ t ∂ v = - 1

∂ ∂ v ∂ g ∂ u = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ ∂ t ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ ∂ t ∂ f ∂ x ( - 1 ) + ∂ ∂ t ∂ f ∂ t ( - 1 )

Arrumando

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ t   ∂ x + ∂ 2 f ∂ x   ∂ t + ∂ 2 f ∂ t 2

Vamos supor que seja de Classe C 2 para usarmos o Teorema de Schwarz que nos permite dizer que

∂ 2 f ∂ t   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ t

E como ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2

Ficamos com

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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