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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 17

Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 k m / h e o outro para oeste a 72 k m / h . A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos dois carros que saem do mesmo lugar e vão pra direções diferentes. O carro A vai para o sul em uma velocidade 30 k m / h e o carro B vai pra oeste a 72   k m / h .

Aí a pergunta que a gente tem que responder é: A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Antes de qualquer coisa vamos tentar enxergar o que ta se passando, olha só:

Perceba então que o que a gente quer é o quanto aquela distância d está aumentando, ou seja:

d ( d ) d t = ?

Então a gente tem que buscar um jeito de expressar esse cara; qual a primeira coisa que vêm a sua cabeça??

Claaarroo o tio Pitágoras; taca-lhe pau nesse carrinho então:

d 2 = S 1 2 + S 2 2

Passo 2

O que estamos buscando é:

d d d t

Bora derivar isso daí então:

d 2 = S 1 2 + S 2 2

Derivando dos dois lados, encontramos:

d d 2 d t = d S 1 2 d t + d S 2 2 d t

Por partes, primeiro a gente trata da potência:

2 d d d d t =   2 S 1 d S 1 d t + 2 S 2 d S 2 d t  

Simplificando tudo por 2:

d d d d t =   S 1 d S 1 d t + S 2 d S 2 d t  

Passando o d para o outro lado, ficamos com:

d d d t = 1 d S 1 d S 1 d t + S 2 d S 2 d t

Ta comigo??

Passo 3

Ou seja, no final das contas:

d d d t = 1 d S 1 d S 1 d t + S 2 d S 2 d t

Onde d S 1 d t = 30 k m / h e d s 2 d t = 72 k m / h

E após duas horas:

S 1 = 30 k m h 2 h = 60 k m         e   S 2 = 72 k m h 2 h = 144 k m

A distância d é dada por:

d 2 = S 1 2 + S 2 2

Substituindo os valores das distâncias percorridas S 1 e S 2 :

d 2 = 60 2 + 144 2

d =   60 2 + 144 2

d = 24336  

Chegamos a distância d percorrida após duas horas:

d = 156 k m

Agora vamos substituir todos os valores na fórmula:

d d d t = 1 156 60   .   30 + 144   .   72

Realizando as multiplicações:

d d d t = 1 156 1800 + 10368

d d d t = 1 156 12168

Enfim chegamos no resultado final:

d d d t = 78 k m / h

Prontinho!

Resposta

Concluindo, a distância entre os carros está variando a uma taxa de 78 k m / h , duas horas após eles se separarem.

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