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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.15 - Ex. 19

O ponto P = x ,   y está fixo à roda de raio 1 m, que rola, sem escorregamento, sobre o eixo x . O ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rad/s. Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O lance mais importante aqui é sacar que essa roda além de girar também anda para direita!

Vamos olhar primeira para rotação! Por trigonometria, temos que o valor do eixo x será dado por uma relação com o cosseno e o de y com o seno. Assim:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Como o raio da roda é 1

x = cos ⁡ θ

y = sen ⁡ θ

Agora vamos olhar para o movimento dela andando pelo eixo x . Pra isso a gente tem que pensar o seguinte: para um certo movimento angular θ a esfera andará uma distância r θ . Como o raio é 1 essa distância é θ .

Como no eixo ela anda e roda, vamos fazer um somatório dos dois movimentos. Assim as coordenadas passam a ser

x = cos ⁡ θ + θ

y = sen ⁡ θ

Agora que entendemos o movimento, vamos derivar!

Passo 2

Assim, derivando ambas as relações em relação a t , temos:

Para y temos,

y = sen ⁡ θ

d y d t = cos ⁡ θ ⋅ d θ d t

Para x temos,

x = cos ⁡ θ + θ

d x d t = - sen ⁡ θ ⋅ d θ d t + d θ d t

Passo 3

Nos foi dado que ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rad/s, ou seja, d θ d t = 1 . Então:

d y d t = cos ⁡ θ

E

d x d t = - sen ⁡ θ + 1

Logo,essas são as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ .

Resposta

d x d t = - sen ⁡ θ + 1 e d y d t = cos ⁡ θ .

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