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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 74

Dois números complexos a   +   i b e c   +   i d são iguais se, e somente se, a = c e b = d . Utilize esse fato para avaliar

∫ e a x c o s   b x   d x e ∫ e a x s e n   b x   d x

a partir de

∫ e ( a + i b ) x d x = a   -   i b a 2   +   b 2 e ( a   +   i b ) x + C

onde C   =   C 1 + i C 2 é uma constante complexa de integração.

Passo 1

Fala, pessoal! Números complexos são sempre complexos, não é mesmo? Mas não desanime não que nós já estamos na questão final desta seção!

Vamos começar tentando avaliar

∫ e a x c o s   b x   d x

a partir da relação

∫ e ( a + i b ) x d x = a   -   i b a 2   +   b 2 e ( a   +   i b ) x + C

Se liga aí no próximo passo.

Passo 2

Nós sabemos que (resultado do exercício 64)

c o s   x = e i x +   e - i x 2

Então,

∫ e a x c o s   b x   d x = ∫ e a x e i b x +   e - i b x 2   d x

∫ e a x c o s   b x   d x = 1 2 ∫ e a x   +   i b x   + 1 2 ∫ e a x   -   i b x   d x

Agora a gente usa o resultado que foi dado no enunciado, para b na primeira integral e - b na segunda integral:

∫ e a x c o s   b x   d x = 1 2 a   -   b i a 2   +   b 2 e ( a   +   i b ) x + K 1 + a   +   b i a 2   +   b 2 e ( a   -   i b ) x + K 2

Por fim, vamos simplificar os termos:

∫ e a x c o s   b x   d x = e a x 2 ( a 2 +   b 2 ) ( a - i b ) e i b x +   ( a + i b ) e - i b x + K

∫ e a x c o s   b x   d x = e a x 2 ( a 2 +   b 2 )   a ( e i b x + e - i b x )   - i b (   e i b x - e - i b x ) + K

∫ e a x c o s   b x   d x = e a x ( a 2 +   b 2 )   a ( e i b x   +   e - i b x 2 )   + b i (   e i b x   -   e - i b x 2 ) + K

onde usamos o fato de que

1 i = 1 i i i = i i 2 = - i

Agora, usamos a definição de seno e cosseno, ficamos com

∫ e a x c o s   b x   d x = e a x ( a 2 +   b 2 )   a   c o s   b x   + b   s e n   b x + K

que é exatamente o resultado correto da integral. Você pode consultar isso numa tabela de integrais.

Passo 3

Vamos seguir exatamente o mesmo raciocínio para calcular ∫ e a x s e n   b x   d x . Vamos relembrar a definição do seno (resultado do exercício 64):

s e n   x = e i x -   e - i x 2 i

Assim,

∫ e a x s e n   b x   d x =     ∫ e a x e i x -   e - i x 2 i   d x

∫ e a x s e n   b x   d x =     1 2 i ∫ e a x   +   i b x   - 1 2 i ∫ e a x   -   i b x   d x

∫ e a x s e n   b x   d x =     1 2 i a   -   b i a 2   +   b 2 e ( a   +   i b ) x + L 1 - a   +   b i a 2   +   b 2 e ( a   -   i b ) x + L 2

∫ e a x s e n   b x   d x =     e a x 2 i ( a 2 +   b 2 ) ( a - i b ) e i b x -   ( a + i b ) e - i b x + L

∫ e a x s e n   b x   d x =     e a x ( a 2 +   b 2 )   a ( e i b x   -   e - i b x 2 i )   - b i (   e i b x   +   e - i b x 2 i ) + L

∫ e a x s e n   b x   d x =     e a x ( a 2 +   b 2 )   a   s e n   b x   - b   c o s   b x + L

Novamente, conseguimos mostrar o valor correto da integral.

Resposta

∫ e a x c o s   b x   d x = e a x ( a 2 +   b 2 )   a   c o s   b x   + b   s e n   b x + K

∫ e a x s e n   b x   d x =     e a x ( a 2 +   b 2 )   a   s e n   b x   - b   c o s   b x + L

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